jueves, 17 de noviembre de 2011

Ejercicios Resueltos (Movimiento Circular)

I. Un disco compacto gira a partir del reposo a 500 [rpm] en 5,5 [s].
a) ¿Cuál es su aceleración angular, supuesta constante?
b) ¿Cuántas revoluciones da en 5,5 [s]?
c) ¿Qué distancia recorre un punto de la periferia del disco situado a 6 [cm] del centro durante los 5,5 [s] que tarda en alcanzar las 500 [rpm]?

Resolución
a) La aceleración angular está relacionada con las velocidades angulares inicial y final:
$\omega = \omega_0 + \alpha t = \alpha t $

Despejando $\alpha$:
$\alpha={\omega \over t}={{500 rev/min} \over {5,5 s}} \times {{2 \pi rad }\over {1 rev}}\times{{1 min} \over {60 s}}$

Por lo tanto $\alpha = 9,5 [rad/s^2]$

b) El desplazamiento angular está relacionado con el tiempo por la ecuación:
$\theta - \theta_0 = \omega_0 t + {1 \over 2} \alpha t^2=0+{1 \over 2} (9,52) (5,5)^2$
$\theta - \theta_0 = 144 [rad]$

Como $1 [rev]$ son $2 \pi [rad]$ entonces $144 [rad]$ son:
$ {{144} \over {2 \pi} [rev]} \approx {23 [rev]}$

c) La distancia $\Delta S$ que recorre un punto en la periferia es igual al producto de $r$ por el desplazamiento angular:

$\Delta = r \Delta \theta = (6 cm) (144 rad) = 8,65 [m]$

II. Un auto va por una curva sin peralte de radio $R$. Si el coeficiente de fricción entre las ruedas y el camino es $\mu_S$, ¿cuál es la rapidez máxima $v_{max}$ con que puede tomarse la curva sin derrapar?

Resolución
La fuerza necesaria para que el vehículo siga una trayectoria circular es la fuerza de roce $F_R$ y la magnitud de ésta debe ser igual a $m a$, por la segunda ley de newton.

La fuerza de roce es $F_R = {\mu_S}{N} = \mu_S m g$ (la normal tiene la misma magnitud del peso).

La aceleración centrípeta puede escribirse $a = m {{v^2} \over R}$

Entonces $\mu_S m g = m {{v^2} \over R}$

Si la velocidad es muy alta, la expresión de la derecha resulta más grande que la expresión de la izquierda, y el vehículo se desviaría de la trayectoria circular.

Por lo tanto la máxima velocidad se puede calcular a partir $\mu_S m g = m {{v_{max}^2} \over R}$

Finalmente: $v_{max} = \sqrt{\mu_S g R}$

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