martes, 10 de mayo de 2011

Ejercicios Resueltos (Fuerzas y Energías)


(7.74) Un paquete de 2.00 kg se suelta en una pendiente de 53.1º, a 4.00 m de un resorte largo de masa despreciable cuya constante de fuerza es de 120 N/m y que está sujeto a la base de la pendiente. Los coeficientes de fricción entre el paquete y la pendiente son μs = 0.40 y μk = 0.20. La masa del resorte es despreciable.
 a) ¿Qué rapidez tiene el paquete justo antes de llegar al resorte?
b) ¿Cuál es la compresión máxima del resorte?
c) Al rebotar el paquete, ¿qué tanto se acerca a su posición inicial?


Resolución
a) Realizando consideraciones de energía o fuerza se puede establecer que la velocidad antes de que el paquete golpee el resorte es:
$v=\sqrt{2 gL(sin \theta - \mu_K cos \theta)}$
$v=\sqrt{2(9.80 m/s^2)(4.00 m)(sin 53.1-(0.20)cos 53.1)}$
$v=7.30 m/s$
b) Esto requiere consideraciones de energía, el trabajo combinado realizado por la gravedad y la fricción es $m g(L+d)(sin \theta - \mu_K cos \theta)$ y la energía potencial del resorte es $\frac{1}{2} k d^2$, donde d es la compresión máxima del resorte. Como en la compresión máxima la velocidad es cero, resulta una ecuación cuadrática para d:
$d^2 {k \over{2 m g (sin \theta-\mu_k cos \theta)}} - d - L = 0$
en la que d = 1.06 m.

c) La forma más fácil de realizar este punto, es reconocer que la presencia del resorte determina d, pero al final del movimiento del resorte el resorte ya no posee energía potencial, y la distancia bajo el punto de partida quedará determinado solo por cuanta energía ha perdido debido a la fricción. Si el paquete alcanza un punto ubicado a una distancia y bajo el punto de partida, el paquete se ha movido una distancia L + d hacia abajo y L + d – y hacia arriba. La magnitud de la fuerza de fricción es la misma en ambas direcciones, $\mu_K m g cos \theta$ y así el trabajo realizado por la fricción es  $-\mu_K (2L+2d-y) m g cos \theta$. Esto debe ser igual al cambio en la energía potencial gravitacional, la cual es – m g y sin θ. Al igualar y despejar y, encontramos:
$y=(L+d){{2 \mu_K cos \theta}\over{sin \theta+\mu_K cos \theta}} = (L+d){{2 \mu_K}\over{tan \theta + \mu_K}}=1.32 m$

3 comentarios:

  1. Muy buen ejercicio me ayudo mucho.

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  2. Lo unico que no entiendo es: ¿Proqué cuando se despeja la velocidad, esta el seno al que se le resta la friccion, de donde sale ese seno?

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  3. vf^2 = vi^2 + 2ad

    al hacer sumatoria de fuerzas en el eje x obtienes la aceleración, vi es 0, la aceleracion te da:


    a= [(p*sen(teta))-mu*normal] / m

    y reemplaazas

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