miércoles, 6 de abril de 2011

Ejercicios resueltos (Fuerzas y Leyes de Newton)


(4.57) Un objeto de masa m está en reposo en equilibrio en el origen. En t = 0 se aplica una fuerza $\vec{F(t)}$ con componentes
$F_x (t) = k_1 + k_2 y$ y $F_y (t) = k_3 t$
donde k1, k2 y k3 son constantes. Calcule los vectores de posición $\vec{r(t)}$ y velocidad $\vec{v(t)}$  en función del tiempo.


Resolución
En esta situación, la componente x de la fuerza depende explícitamente de la componente y de la posición. Como la componente y de la fuerza está dada como función del tiempo, vx e y pueden ser encontradas como función del tiempo.

Específicamente: $a_y = (k_3 / m)t$, por lo tanto, integrando encontramos que $v_y = (k_3 / {2 m})t^2$ e integrando nuevamente encontramos que $y = (k_3 / {6 m})t^3$, con condiciones iniciales:
v0y= 0, y = 0

(Demuestre que esas son las integrales, simplemente derivando y para encontrar la velocidad vy y derivando vy para encontrar la aceleración ay).

Luego, las expresiones para ax, vx e x son obtenidas de la función del tiempo:
$a_x = {\frac{k_1}{m}}+\frac{k_1 k_2}{6 m^2} t^3$
$v_x = {\frac{k_1}{m}} t +\frac{k_2 k_3}{24 m^2} t^4$
$x = {\frac{k_1}{2 m}}t^2+\frac{k_2 k_3}{120 m^2} t^5$

Vectorialmente:
$\vec{r} = ({\frac{k_1}{2 m}}t^2 + \frac{k_2 k_3}{120 m^2} t^5) \hat{i} + (\frac{k_3}{6 m}t^3) \hat{j}$

$\vec{v} = ({\frac{k_1}{m}} t +\frac{k_2 k_3}{24 m^2} t^4)\hat{i} + (\frac{k_3}{2m}t^2)\hat{j}$


(5.85) Determine la aceleración de cada bloque de la figura en términos de m1, m2 y g. No hay fricción en ninguna parte del sistema.


Resolución
Denotemos la magnitud de la aceleración del bloque de masa m1 como a, el bloque de masa m2 descenderá con aceleración a/2. Si la tensión en la cuerda es T, las ecuaciones de movimiento son:
$T=m_1 a$
$m_2 g - 2 T = m_2 a/2$

Multiplicando la primera de las dos ecuaciones por 2 y sumando para eliminar T, al despejar a nos da:
$a=\frac{m_2 g}{2 m_1+m_2/2}=g \frac{2 m_2}{4 m_1+m_2}$

La aceleración del bloque de masa m2 es la mitad de esto o $\frac{g m_2}{4 m_1+m_2}$


(5.127) Una bola se sostiene en reposo en la posición A de la figura con dos hilos ligeros. Se corta el hilo horizontal y la bola comienza a oscilar como péndulo. B es el punto más a la derecha que la bola alcanza al oscilar. ¿Qué relación hay entre la tensión del hilo de soporte en la posición B y su valor en A antes de cortarse el hilo horizontal?


Resolución
Antes de que la cuerda horizontal sea cortada, la bola está en equilibrio, y la componente vertical de la tensión debe equilibrar el peso w, entonces $T_A cos \beta=w$ o $T_A=w/cos \beta$. En el punto B, la bola no está en equilibrio; su velocidad es instantáneamente 0, por lo tanto no hay aceleración radial, y la fuerza de tensión debe equilibrar la componente radial del peso, entonces $T_B=w cos \beta$ y la relación $(T_B/T_A)=cos^2 \beta$.
 

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